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(平成 8 年)
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A1.
     0.00400801
     ――――――――――
1996)8         
     7 984     
     ――――――――  
        16000  
        15968  
        ―――――――
           3200
           1996
           ――――
           1204

(解き方の一例)

     0.00a0080b      
     ――――――――――      
□□□□)X               
 ‖   □ □□□     ‥‥‥(1)
 Y   ――――――――        
        mm□□□        
        □□□□□  ‥‥‥(2)
        ―――――――      
           nn□□      
           □□□□‥‥‥(*)
           ――――      
           □□□□ = R  

上のように未知数をおく。ただし、Y, R は 4 桁の数、m, n は上の “mm”, “nn” の位置に入る 2 つの数字を 2 桁の数とみなした値である。(1), (2) の部分計算から次の式が成り立つ。

1000X − aY m ……(1)
1000m − 8Y n ……(2)

Y = (1000X − m) / a = (1000m − n) / 8 とおいて Y を消去、さらに分母をはらって整理する。

8(1000X − m) a(1000m − n)
1000(8X − am) 8m − an ……(3)

(3) 式で右辺の絶対値は 1000 に満たないので両辺とも 0 しかありえない。

8 / a = m / X = n / m
64 / a2 = n / X ……(4)

8Y は 5 桁で、aY は 4 桁だから、a < 8。また元々の割り算の式で X はその真下にある□より大きいので X > 1。また (2) より n は 8 の倍数。これらの条件のもとで (4) を満たす a, X, n の組を拾う。

a = 2;  (X, n) = (2, 32), (3, 48), (4, 64), (5, 80), (6, 96)
a = 3;  (X, n) = (9, 64)
a = 4;  (X, n) = (4, 16), (6, 24), (8, 32)
a = 6;  (X, n) = (9, 16)

・ a = 2 のとき、m = 4X, n = 16X, (1) より Y = 498X, (*) の計算は 1600X を 498X で割るので b = 3, R = 106X で 4 桁にならないので不適。
・ a = 4 のとき、X = 2z (z = 2, 3, 4) とおくと m = 4z, n = 8z, Y = 499z, 800z を 499z で割るので b = 1, R = 301z, R が 4 桁になるのは z = 4 のみ。このとき X = 8, Y = 1996 となる。
・ (a, X, n) = (3, 9, 64) のとき、m = 24, Y = 2992, b = 2, R = 416 で不適。
・ (a, X, n) = (6, 9, 16) のとき、m = 12, Y = 1498, b = 1, R = 102 で不適。

以上より、適するのは X = 8, Y = 1996 のみである。


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