1 9 9 7  
(平成 9 年)
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A1.

左辺を a − 1 で割った余りを考える。a ≡ 1 (mod a − 1) より

1・ap + 9・aq + 9・ar − 7・as ≡ 1 + 9 + 9 − 7 = 12  (mod a − 1)

よって、12 ≡ 1997, ゆえに 1985 ≡ 0 (mod a − 1)。よって a − 1 は 1985 の約数の 1, 5, 397, 1985 のどれか。0 ≦ a ≦ 97 より a = 2, 6 のどちらか。 あとは両方の場合を試してみるとa = 2 の時は解がなく、a = 6 の時は次のものが唯一の解であることがわかる。

(a, p, q, r, s) = (6, 1, 3, 1, 0)


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