1 9 9 8  
(平成 10 年)
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A1.

まず台形を次のように 6 個の三角形に分ける。この三角形は直角をはさむ 2 辺の比が 1:6 の直角三角形になっている。

1998 = 6 × 333 なので、この三角形を 333 等分すればよい。333 を素因数分解すると 333 = 32 × 37 となる。三角形を 9 等分するのは簡単で、下のように分割できる。(一般にどんな三角形でも n2 等分が可能。)この分割によってできる小三角形は元の三角形と相似になっている。

あとはこの三角形を 37 等分しなければならに。「合同な図形で 37 等分なんて無理だ!」と思うかも知れないが、もう一度この三角形をよく見ると、直角をはさむ 2 辺の比が 1:6 だから、短い辺の長さを基準とすると斜辺の長さは 37 である。 よって、再び元の三角形と相似な形に分割するとすると、面積が 1/37 になるので新しい三角形の斜辺の長さは 1 となる。このことを考慮すると、次のように分割できることがわかる。

上の図で △ACH と △BAH が相似比 1:6(面積比 1:36)で相似になっているので、△BAH を前の要領で 36 等分すれば △ABC を合同な図形に 37 等分したことになる。

こうして最初の台形を次々と分割していくことで、6 × 9 × 37 = 1998 個の合同な三角形に分割することができた。


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