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(平成 14 年)
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A1.

一般の正 n 角形を考え、その辺と対角線の集合を S とする(別に正多角形でなくとも凸多角形であればいいのだが)。

S に属する 2 線分が共有点をもたないとすると、それらの端点は n 角形の相異なる 4 頂点となる。

逆に、n 角形の相異なる 4 頂点 A, B, C, D (この順に時計回りにあるとする)について、それらを端点とする 2 線分の組み合わせを考えると、

(AB, CD),   (AC, BD),   (AD, BC)

の 3 つがある。このうち最初と最後の 2 つが共有点をもたない。

以上より、n 角形の相異なる 4 頂点の組み合わせ 1 つに対して、共有点をもたない S の 2 線分の組み合わせ 2 つが正確に対応することが示された。前者の個数は明らかに nC4 であるから、後者の個数は 2・nC4 である。

n = 14 の場合は、答えは 2・14C42002 である。

世の中たまには上手くいくものですね。(^_^;)


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This page is written by Yac(T.Yato: yato@ is.s.u-tokyo.ac.jp ).