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(平成 14 年)
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Q5.    Hint    Answer    Level: ★★★ <E>

(0, 0, 0) と (14, 14, 14) を結ぶ線分を対角線とする一辺が 14 の立方体(つまり、x, y, z の各座標が 0 または 14 の点を頂点とする立方体)がある。 この立方体の表面(面と辺上の点および頂点を含むが、内部を含まない)上にある格子点(全ての座標の値が整数である点)の集合を S とする。また、S の 2 点について、距離が 1 であることを「隣接している」と呼ぶ。このとき以下の問いに答えよ。

(1) S のある点から出発して、次々と隣接する点に移ることで、S の全ての点を 1 度ずつたどるような経路を作ることを考える。(最後に出発点に戻る必要はない。)そのような経路が存在しないことを証明せよ。

(2) S から (7, 7, 14) を除いた集合を S' とする。 S' については、全ての点を 1 度ずつたどるような経路が存在することを示せ。

(3) (2) の条件を満たす経路には、連続して同じ方向に進む(つまり曲がらずに直進する)箇所が必ず存在することを証明せよ。

(おまけ) S からいずれかの 1 点を除いた集合について、全ての点を 1 度ずつたどるような経路で、連続して同じ方向に進むことがないようなものを作ることができるか。[これは私自身も解けていません。]


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