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(平成 18 年)
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Q2.    Hint    Answer    Level: ★★★ <H>

定規とコンパスを用いた(ユークリッド的)作図によって正 n 角形(n ≧ 3)が描けるのは、

n が「2 の累乗」と「相異なるフェルマー素数の積」の積で表される
(フェルマー素数とは、ある非負整数 k に対して 「2 の 2k 乗 + 1」の形で表される素数で、 現在は 3, 5, 17, 257, 65537 のみが知られている)

時またその時に限ることが知られている。 従って、正 17 角形は作図できるが、正 18(= 2・32) 角形は作図できない(「相異なる」に注意)。

1 辺が 1 の正 n 角形の全ての辺と対角線の長さの和を L(n) で表す。 正 17 角形の作図可能性より、L(17) が作図可能であることは明らかである。

それでは L(18) が作図不可能であることを証明せよ。

※ 実数 a について、「長さ 1 の線分」が与えられたときに「長さ a の線分」が作図できることを、a が作図可能」という。


これは「18 年の問題」ではなく「17 年の問題」じゃないかって? 気にしない、気にしない。


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